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我们知道,虚数是平方为负数的数。“虚数”这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创制,因为当时的观念认为这是实际中不存在的数字,故其英文名字为imaginary number,意思是想象中的数字。

一个虚数可表达为:$ib$,其中$b$为实数,$i$为虚数单位,它的基本定义为:$i=\sqrt{-1}$。在物理学中,$i$通常用来表达电流,故一般改为以$j$来表示虚数单位,即:$j=\sqrt{-1}$。

YouTube上面有一个关于虚数单位的小视频,视频的作者称,虚数的单位不等于$\sqrt{-1}$,即$j\ne\sqrt{-1}$,我以为是在开玩笑,没想到竟有模有样的给出了反证法的证明过程。

乍一看,证明过程似乎没有什么破绽。

事实上,他的错误在于第三个等号,即:$\sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{(-1)}\sqrt{(-1)}$,真的能够取等号吗?

我们知道,$\sqrt{(x)(y)}=\sqrt{(x)}\sqrt{(y)}$的成立与否是存在条件的,那就是$x$,$y$均为非负数。视频中忽略了这样的条件。

视频的后面,则得到了正确的结论。即:虚数单位的定义应该为:$j^2=-1$,进而$j = \pm \sqrt { - 1} $。

实际上,$j$并不是一个数,而是一个旋转因子。任何一个数与$j$相乘,意味着将这个数在复平面内沿着逆时针方向旋转90度,如下图所示。从这样的角度去理解也许更容易一些。

(完)